Архимед (стр. 36-47)

В. Ф. КАГАН «Архимед» (стр. 36-47)

Главная страница «Архимед» КРАТКИЙ ОЧЕРК О ЖИЗНИ И ТВОРЧЕСТВЕ.

В. Ф. КАГАН «Архимед», Скачать книгу Архимед в формате PDF,
В. Ф. КАГАН «Архимед», Скачать книгу Архимед в формате PDF,

рассматриваемой граничной кривой, в данном случае —
параболы, и изыскать метод, которым находится это предельное
значение.
Как мы уже упомянули выше, парабола допускает различные
определения; она может быть охарактеризована различными
соотношениями между теми или другими её элементами.
Архимед уже имел в своём распоряжении несколько соотношений
такого рода, найденных его предшественниками:
уже Евклид составил сочинение о конических сечениях,
к числу которых принадлежит и парабола; занимался этим
ещё в начале IV столетия до н. э. Аристей; но эти их
труды до нас не дошли. Опираясь на полученные ими
результаты, Архимед устанавливает новое соотношение,
приспособленное к его построению (черт’ 2). Именно, он
доказывает, что в случае параболы каждая точка делит
отрезок Ht Tiy на котором она лежит, в том же отношении,
в каком соответствующая точка делит хорду АВ *)г
‘ RtTt *= . (2)
После этого он переходит к главной задаче-— к разысканию
площади сегмента, т. е. общего предела сумм входя-
щих и выходящих трапеций; для решения этой задачу он
прибегает к средствам механики.
Хорду АВ он представляет себе горизонтальной, продолжает
её в другую сторону на расстояние АС == АВ
(черт. 3) и рассматривает САВ как равноплечий рычаг
с опорой в точке А. Трапеции Qu Qz, Q3, . . . , Qn он
представляет себе тонкими однородными пластинками,
вес£ которых пропорциональны их площадям и, следовательно,
в вопросах статики могут быть заменены их площадями;
сообразно этому он говорит о площади треугольника,
трапеции, как о соответствующем весе или грузе.
Теперь Архимед ставит себе задачей разыскать грузы
Pv Р г, Ps, . . Рп, которые, будучи приложены на другом
конце рычага, в точке С, могут уравновесить соответствующие
веса (трапеции) Qt, Qz, Q3, Qn. Опираясь
на соотношение (2), характеризующее параболу,
*) Мы приводим доказательство этого основного едртнщи£,-<
ния в виде приложения I к тексту (стр. 48),

стр. 36

Архимед показывает, что каждый груз Р} содержится
между
Если поэтому сумму всех весов Рл -{- Р 2 + . . . 4 — Рп обозначим
через Р, сумму площадей (весов) входящих трапе-»
ций обозначим через R, а сумму

Но, с другой стороны, грузом Р уравновешивается весь
треугольник АВТ; так как центр тяжести этого треугольника
отстоит от А Т на расстоянии трети стороны АВ, то
уравновешивающий его груз Р равен , где Д — площадь
*) Доказательство этого неравенства приводится в приложении
II к тексту (стр. 50).

стр. 37

(соответствующий вес) треугольника АВТ:
А так как между теми же пределами содержится и площадь
5 сегмента, сколько бы ни сближались R и R, то
отсюда следует, что S — . Архимед это доказывает^
как обыкновенно, от противного.’ Он приходит таким
образом к следующему предложению {о котором мы уже
упоминали)*.
Площа д ь е е гме н т а п а р а б о лы в т о ч н о с т и
р а вн а о д н о й т р е т и п л о ща д и т р е у г о л ь н и к а ,
огрднйченнюб-О е г о хордой, ос ью п ар або лы,
п р о х о д яще й ч е р е з один к он е ц хорды, и к а с а т
е л ьной, п р о х о д я щей ч е р е з д р у г о й её к онец.
Любопытно, что теорема остаётся справедливой и в том
случае, когда Хорда не перпендикулярна к оси: Архимед
и устанавливает её в этом более общем виде, что,
по существу, не требует значительных усложнений.
Механический приём Архимеда заключается, таким
образом, в, том, что слагаемые площади он взвешивает и
суммирует в общей точке-— в точке приложения надлежащим
образом установленного рычага.
Тщательным изучением античных математических
текстов мнОго занимался датский филолог и математик
И. Гейберг (I. Heiberg), Под его редакцией были выпущены
наиболее проверенные издания сочинений Евклида,
Архимеда, Аполлония. Ещё в 1879 г. он выпустил исследование,
посвящённое различным вопросам творчества
Архимеда *). В начале текущего столетия Гейберг нашёл
в каталоге Иерусалимской библиотеки небольшую ^выдержку
из одного древнего манускрипта математического
содержания. Эта выдержка была приведена приват-доцентом
Петербургского университета Паиадопуло-Керамевс из
не вполне смытого древнегреческого текста, который он
о б н а р у ж и л на интересовавшем его пергаменте под текстом
более позднего происхождения **). Не будучи матеиати»

——-
*) I. L. H e ib e r g , Quaestiones Archimedeae, Kopenbagen,
Д879. ‘
Архимед, Изд. АН СССР, 1945, стр. 143.

стр. 38

ков, Пападопуло-Керамевс не придал своему открытий
большого значения, но в его краткой выдержке Гейберг
узнал ex ungue leonem («по когтям льва») произведение
Архимеда. Ему удалось разыскать эту рукопись в Константинополе,
и он обнаружил в ней греческие тексты некоторых
сочинений Архимеда. Манускрипт был составлен
в X столетии; между XII и XIV столетиями, как это часто
бывало, тот же пергамент был использован вновь для
богословского текста. Старый текст при этом старались
смыть, но, к ечастыо, не с полным успехом: в значительной
части его удалось» восстановить. Кроме уже известных
сочинений Архимеда, в нём оказались три «новых»
его произведения, из которых два имеют очень важное
значение, так как содержат его гидростатику (две
работы «О плавающих телах»), и так называемый
«Эфодик».
Последнее из этих произведений («Эфодик») есть наиболее
обширное и, может- быть, по геометрическому своему
значению наиболее важное из сочинений Архимеда. Оно
не имеет названия, исходящего от самого Архимеда; все
называют его «Метод обработки механических предложений
». Это замечательное произведение содержит развитие
того метода^»мы сказали бы—интегрирования, которым
Архимед пользовался в работе «Квадратура параболы».
Обширный мемуар начинается письмом к Эратосфену Родосскому,
при котором он был последнему отослан. Перечислив
те предложения, которые он считает наиболее.
важными, Архимед далее пишет:
«Так как, однако, а в твоём лице … ценю очень
серьезного учёного* философа выдающегося значения,
а’ также и любителя математического исследования, то. я
считаю целесообразным изложить в этой книге своеобразный
метод и в такой мере его выяснить, чтобы эта работа
послужила и для тебя стимулом к исследованию некоторых
математических вопросов при помощи механики.
Но этот приём, по моему убеждению, не менее полезен
также и для доказательства геометрических предложений,
ибо некоторые вещи я себе первоначально уяснил именно
механическим методом. Однако, потом эти предложения
было необходимо доказать чисто геометрически, потому
что Обработка их вышеупомянутым методом, строго го

стр. 39

воря , не даёт действительного доказательства. Очевидно;
если мы при помощи этого метода предварительно получим
некоторые сведения об исследуемых вопросах, то
найти доказательство будет легче, чем это можно было бы
сделать без предварительных сведений».
И действительно, Архимед этим новым механическим
способом даёт здесь новые доказательства ряда предложений,
которые им уже были доказаны в других сочинениях,
Так, он этим способом вновь доказывает, что поверхность
шара равняется учетверённой площади большого
круга, что объём цилиндра, высота которого равна диаметру
основания, в полтора раза превышает объём вписанного
в него шара. Это последнее предложение Архимед
особенно ценил; именно к этому предложению относится
тот чертёж/который он завещал выгравировать на своей
гробнице. В этом сочинении Архимед даёт новое доказательство
теоремы о площади параболы, а затем обращается
к задачам гораздо более трудным. Так, он находит
поверхности и объёма сегментов эллипсоида вращения,
параболоида вращения, определяет центры тяжести этих
тел и поверхностей, в частности, центр тяжести полу-
шара и сегмента эллипсоида вращения, отсечённого плоскостью,
перпендикулярной к оси вращения.
Все эти вычисления, по существу выполняемые интегрированием,
действительно произведены единым методом.
Таким образом, Архимед несомненно пришёл к довольно
общему методу интегрирования, к которому приводится
разыскание поверхностей, объёмов и центров тяжести тел
вращения, ограничиваемых поверхностями второго порядка.
Можно чётко формулировать, в какой мере он с этими 4
задачами справился: он осуществил вычисление во всех
тех случаях, когда задача не приводит к эллиптическим
интегралам.
Таким образом, совершенно ясно, что Архимед в этой
работе заложил начала интегрального исчисления, что
самая задача интегрирования была ему совершенно ясна,
что он с нею справился в довольно сложных случаях.
Но понадобилось около двух тысяч лет для того* чтобы
были созданы общие методы интегрирования, к простейшим
применениям которых приводили задачи Архимеда.
Если «отцами» современного интегрального исчисления

стр. 40

‘были Лейбниц и Ньютон, то родным «прадедом» их несомненно
был Архимед.
Обращаясь ко второму сочинению Архимеда, обнаруженному
Гейбергом в открытой им рукописи — Гидростатике,
или, воспроизводя название точнее, «О плавающих
телах», отметим, что это — одно из самых важных, некоторые
считают — самое важное из сочинений Архимеда.
Нужно, однако, сказать, что эту работу знали и раньше,
до её открытия Гейбергом, правда, в латинском переводе,
сделанном доминиканским монахом Мёрбеке (W. МбгЬеке).
Но так как этого сочинения не было в рукописи Валла
(см. стр. 20), то царило сомнение, принадлежит ли оно
действительно Архимеду. Когда Гейбергом был обнаружен
его греческий текст в манускрипте, содержавшем и другие сочинения
Архимеда, эти сомнения исчезли. Более того, оно
и по сей день вызывает особенно глубокое удивление,
потому что содержит важные открытия, в которых Архимед
действительно не имел себе предшественников.
Наибольшее значение имеют предложения, на которых
была построена гидростатика, а в настоящее время и аэростатика.
Приведём эти предложения фундаментального значения.
Предложение 3. Тела, к о т ор ые при р а вном
о бъёме имеют тот же вес, что и н е к о т о р а я
ж и дк о с т ь , б удучи помещены в э ту жидко с т ь ,
п о г р ужают с я в неё т а ким обра зом, что не
выс т у па ют над её п о в е р х н о с тью, но и не
с пу с ка ют с я ниже.
Предложение 4. Тело, боле е лё гкое , чем
жидко с т ь , бу д у чи в ней помещено, не погру-
жа е т ся в жид к о с т ь целиком,— н е к о т о р а я
щасть его выс т у п а е т над п о в е р хно с т ью.
Предложение Ъ. Тело, бо л е е лё гкое, чем
жидко с т ь , будучи в ней помещено, по г р у жа
е т с я на с т о л ь к о , что вес выт е с не нной
жи д к о с т и р а в е н весу т е л а .
Предложение 6. Ес,ли тело, боле е лё гкое ,
чем жид к о с т ь , на с ил ь но * по г р у зим вну т р ь
этой жид к о с ти, то оно в ы т а л к и в а е т с я в в ерх
с силой, р а вной р а з н о с т и между ве сом выт
е сн е нн о й жи д к о с т и и ве сом тела.

стр. 41

Предложение 7. Т е л о, к о т о р о е т я ж е л е е ж и д к о
сти, будучи п о г р у ж е н о в э т у жид к о с т ь ,
ид ё т ко дну и, б у д у чи в з в е ш е н о в с амой
жид к о с ти, т е р я е т в с в о ём в е с е столько»
с к о л ь к о в е с ит в ы т е с н е н н а я им жи д к о с т ь .
Совокупность этих теорем, в частности 5 и 7, сохраняет
по настоящее время название з а к о н а Архимеда.
Для построения современной гидростатики оказалось
по существу необходимым только прибавить закон, открытый
Паскалем, который однако, нужно сказать, потенциально
содержится уже в предложениях Архимеда.
Большой известностью пользуется легенда, рассказанная
Витрувием о том, при каких обстоятельствах эти
законы были открыты. Сиракузский царь Гиерон заказал
себе корону из чистого золота. Когда корона была изготовлена,
возникло сомнение, не содержит ли она в себе
некоторого количества серебра. Гиерон потребовал от
Архимеда, чтобы он указал способ выяснить эти сомнения.
Архимед долга размышлял об этой задаче; однажды,
находясь в ванне и почувствовав, как вес его тела уменьшается
при погружении, он уяснил себе основной закон,
носящий в настоящее время его имя. В восторге он выскочил
из ванны и скриком «еортрса» («эврика» -—- нашёл)
нагой побежал по улицами Весьма вероятно,- что»открытие
действительно произошло при купании. Так как закон
Архимеда даёт возможность, как известно, определять
удельный вес тела, то ключ к ответу на вопрос
Гиерона был найден; но вместе с тем был найден один
из основных законов, на котором в настоящее время
строится гидродинамика и аэродинамика.
Невидимому, в тесной4 связи е этими размышлениями
Архимеда находится и открытый им гидравлический вийт.
Конечно, винты, которые теперь приводят в движение
•корабли, морские и воздушные, представляют собой далеко
идущее усовершенствование винта Архимеда; но замысел
этого основного движителя* современных плавательных и
летательных сооружений принадлежит Архимеду.
Мм не будем останавливаться на третьей работе, обнаруженной
Гейбергом; это— так называемый «Стомахион»
(Еторауюу) — нечто среднее между геометрической задачей о
делении фигуры на чаети и забавой. Она к тому же до—

стр. 42

шла до нас только в отрывках и не имеет научного значения,
как и приписываемая Архимеду «задача о быках».
Мы остановимся теперь ещё на одном вопросе,
именно—• рассмотрим логическую базу, на которой Архимед
строит свои выводы, аксиоматику Архимеда.
Сочинение о шаре и цилиндре начинается, как обыкновенно
(см. стр. 19), письмом к Досифею. Письмо заканчивается
пятью аксиомами, которые Архимед предпосылает
этой основной своей работе; он явно считает
необходимым дополнить ими аксиомы и постулаты Евклида.
Приведём здесь перевод этих аксиом.
1) Из вс ех линий, к о т о ры е имеют те ж ё
концы, пр яма я е с ть самая корот ка я .
2) Из д р у г и х линий, р а с п о л о ж е н н ы х в
одной п л о с к о с т и и имеющих о бщие концы,
две не равны, е с ли обе они о б р ащ е н ы выпу к л
о с т я м и в одну и ту же с т о р о н у и е сли одна
из них либ о в п о л н е о б ъ е м л е т с я другой,
либ о же ч а с т ью о б ъ е м л е т с я , а в д р у г и х частях
со впа д а е т с ней; и в э том с л у ч а е о б ъ емлющая
б о льше объем л емой.
3 ) Т о ч н о т а к ж е из по в е р х н о с т е й , к о т о р ы е
имеют общую границу, л е ж а щую в о д н о й
п л о с к о с т и , п л о с к а я п о в е р х н о с т ь меньше
вс ех ос т а л ьных .
4) Из д ру гих п’овер х н о с т е й, имеющих об-
щуда п л о с кую г р а н и ц у , д в е не равны, если
обе они о б ращены вы п у к л о с т я м и в одну и
т у ж е ст орону, и одна о б ъ е м л е т другую; при
э том о б ъ е м л ю щ а я п о в е р х н о с т ь б о л ьше
о б ъ ем л ем ой.
5) Из н е р а в н ы х Линий, нер а вн ых по в ерх-
н о с т е й или н е р а в н ы х тел меньше е , б у д у ч и
п о в т о р е н ным д о с т а т о ч н о е ч и с л о раз, п р е в
з о й д ё т бол ьше е .
Эти постулаты Архимеду действительно необходимы
уже в первом предложении; утверждая, что периметр
многоугольника* описанного около круга, больше длины
окружности, Архимед опирается на первый из этих постулатов.
Точно так же, утверждая дальше, что поверх-

стр. 43

вой
поверхности цилиндра, а боковая поверхность призмы,
вписанной в цилиндр, меньше поверхности цилиндра,
Архимед ссылается на 3-й и 4-й постулаты.
Однако первые четыре постулата Архимеду нужны
потому, .что он не даёт точного определения того, чтб надлежит
разуметь под длиной кривой или под величиной
поверхности. В настоящее время эти определения точно
оформляются, и тогда все четыре первые аксиомы Архи-
-меда становятся излншвдми: их можно доказать. Так, например,
длина дуги кривой определяется следующим образом:
в эту дугу вписывается ломаная: линия и около той
же дуги (между теми же концами) ломаная линия описывается.
Когда число сторон каждой ломаной неограниченно
увеличивается, а самые стороны неограниченно уменьшаются,
то обычно (т. е. для значительного большинства
кривых, которые нам приходится изучать), периметры обеих
ломаных стремятся к общему пределу. Этот предел
и принимается за длину дуги рассматриваемой кривой.
При таком определения длины дуги первые две аксиомы
становятся излишними; содержащиеся в них утверждения
легко доказываются. Таким же образом, при надлежащем
определении величины поверхности допускают доказательства
третья и четвёртая аксиомы.
вовершеяш иначе обстоит дело с пятой аксиомой.
Читателю прежде всего нужно отчётливо уяснить себе
содержание этого постулата. Хорошо известен приём,
служащий для нахождения общей меры двух отрезков,
если таковая существует, или для установления точного
или приближённого отношения двух отрезков. Этот приём,
который теперь обыкновенно называют последовательным
делением или алгоритмом Евклида, имеется уже в «Началах»
Евклида (книга VII, предложение 2) *).
Приём этот заключается в том, что меньший отрезок
откладывается на большем столько раз, сколько он там
поместится. Иначе говоря, еели а — больший, a b — меньший
отрезок, то находится такое число л, что rib равно
или меньше а, и в то же время (я +-1) & больше а.
*) Евклид применяет его, собственно, к числам, но иллюстрирует
их отрезком.

стр. 44

Вопрос заключается, однако, в, том, с уще е т в у е т л и
такое число п. Другими словами, повторяя меньший отрезок
достаточное число раз, достигнем ли мы того, что превзойдём
больший отрезок?
Пятая аксиома Архимеда именно утверждает, что мы
этого всегда достигнем: п о в т о р я я д о с т а т о ч н о е
ч и с ло р аз мень ши й о т р е з о к, м ы п р евз о й д ём
бо л ьший. 4
Нужна ли эта аксиома? Нельзя ли обойтись без нее,
нельзя ли доказать содержащееся в пей утверждение?
Этот вопрос был подвергнут в текущем столетии тщательному
обсуждению.
Веронезе и /Гильберт показали, что введение такой
аксиомы безусловно необходимо. Было показано, что возможны
как арифметика, так я геометрия, в которых
эта аксиома не оправдывается (трансфинитная арифметика
и трансфинитная геометрия).
Мы не имеем возможности входить здесь в такие подробности,
которые бы это вполне выяснили. Мы только
отметим удивительную прозорливость Архимеда, который
усмотрел необходимость аксиомы, не только получившей
признание в, современной математике, но и играющей
в ней чрезвычайно важную роль.
Здесь будет уместно сказать об общем методе, которому
Архимед следовал при изложении своих работ.
Верный заветам своих предшественников — Евдокса, Аристотеля,
Евклида,—- Архимед признавал только выводы строго
доказанные, т. е, основанные на исходной аксиоматике —
на аксиомах Евклида, к которым он присоединил свои
собственные, перечисленные выше. Даже свой трактат по
гидростатике он основывает на двух постулатах, изложенных
в первой книге работы «О плавающих телах». Здесь
не место входить в обсуждение того, в какой мере постулаты,
на которых Архимед строил свои выводы, действительно
достаточны для логического обоснования этих
выводов, — скажем только, что они в полной мере стояли
на высоте требований того времени, В письме к Эратосфену,
о котором мы говорили ваше, Архимед указывает,
что некоторые из излагаемых им предложений уже
были указаны ранее Демокритом; но наглядные механические
соображения Демокрита его не удовлетворяют, он

стр. 45

считает необходимым дать точные (т. §. логически выполненные)
их доказательства.
Три гениальных геометра характеризуют направление
эллинской математики. Евклид, верный ученик Платона,
не интересуется вовсе практическим значением геометрии.
Как мы видели, он над этим даже трунил; его интересовала
только строгая абстрактная дедукция; в этом стиле
построены его «Начала». В противоположность этому
Демокрит, человек ярко выраженного материалистического
мировоззрения, больше всего интересовался самыми
фактами, содержавшимися в геометрии его времени, их
практическими приложениями; точность логического вывода
его, повидимому, интересовала гораздо меньше *).
Архимед несомненно ценил практические приложения математики
и механики; каковы бы ни были соображения
его биографов, об этом свидетельствует вся его деятельность.
Но он в то же время требовал точных доказательств,
строго логического вывода каждого математического утверждения.
Эта точка зрения наиболее близка к нашим современным
установкам.
Из дошедших до нас сочинений Архимеда совершенно
ясно, какое значение для науки имело его гениальное
творчество. Но целый ряд его сочинений до нас не дошёл.
Мы посвятим ещё немного места тем из них, содержание
которых может быть более или менёе установлено
благодаря указаниям самого Архимеда или других авторов.
Мы уже упоминали выше о его работе «‘Apyat»,
посвящённой основам счёта. О нём упоминает как сам
Архимед, так и различные другие авторы.
Несомненно, большой интерес представляло сочинение,
посвящённое учению о многогранниках. Как рассказывает
Папп-* Александрийский, Архимед в этом сочинении, кроме
известных пяти правильных многогранников (обыкновенна
называемых «Платоновыми телами»), указал ещё тринадцать
многогранников, которые можно назвать полуправильными.
Эти тела также ограничены правильными многоугольниками,
образующими равные двугранные углы, но между
*) См. И. Л. Ге й бер г, Естествознание и математика в классической
древности. ОНТИ, М. — Л., 1936; С. Я. Л у р ь е. Аохи-
мед, Изд. АН СССР, М. —Л., 1945 (гя. VI).

стр. 46

ними имеются неодноимённые (например, треугольники и
пятиугольники).
Однако, наиболее важное значение из утраченных сочинений
Архимеда имела книга, а может быть и несколько
книг, посвящённых механике. Об одном из этих сочинений,
которое, повидимому, называлось «О весах» или «О
рычагах», упоминают Папп и Симплиций. Есть основания
предполагать, что в этом сочинении Архимед впервые точно
установил понятие о центре тяжести данного тела, как
такой его точке, в которой, достаточно подпереть тело, чтобы
оно оставалось в равновесии в любом своём положении.
Меньше сведений мы имеем о содержании его сочинений,
посвящённых оптике и астрономии. В одном из
этих сочинений «Катотстрс/а» Архимед делает указания
относительно преломления света. Другое , сочинение посвящено
описанию изготовленной самим Архимедом механической
модели небесной сферы, на которой можно
было наблюдать движения светил. Цицерон рассказывает,
что он видел эту модель собственными глазами. К числу
не дошедших до нас произведений Архимеда принадлежат
его рассуждения о календаре.
Нам нет нужды здесь в заключение вновь перечислять
замечательные открытия Архимеда. Каждое из его сочинений
прибавляло нечто новое к совокупности знаний,
которыми владели его предшественники в арифметике, в геометрии,
в механике, в астрономии, — во все отрасли точного
знания он сделал вклады, не только сохранившие
своё значение до настоящего времени, но часто служащие
основой современных дисциплин, теоретических к
прикладных. Чрезвычайной оригинальностью, глубиною
мысли и свежестью замысла отличается каждая из его
работ. История науки знает очень мало произведений
такого яркого творчества, такой гениальной мысли.

стр. 47

#Архимед #КАГАН #физика

Бесплатные учебники по физике

Автор записи: uchebnik

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.