Архимед (стр. 26-35)

В. Ф. КАГАН «Архимед» (стр. 26-35)

Главная страница «Архимед» КРАТКИЙ ОЧЕРК О ЖИЗНИ И ТВОРЧЕСТВЕ.

В. Ф. КАГАН «Архимед», Скачать книгу Архимед в формате PDF,
В. Ф. КАГАН «Архимед», Скачать книгу Архимед в формате PDF,

стояяное. Уже задолго до Евклида бело известно,
что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника,
один из катетов которого равен длине окружности,
а другой — радиусу круга. В связи с этим было
ясно, что отношение длины окружности к диаметру имеет
тоже постоянное отношение; его теперь обозначают греческой
буквой w. Любопытно, что Евклид, заканчивая
в VI книге планиметрию, ничего о длине окружности и
площади круга не говорит. Это настолько странно, что
некоторые авторы высказывалшдаже предположение, будто
утеряна часть «Начал», которая была Посвящена учению
о длине окружности и площади круга. Между тем, располагать
значением Числа, выражающего отношение длины
окружности к длине диаметра, было совершенно необходимо
в элементарной практике при изготовлении различных
круглых предметов — диска, круглого блюда, при
сооружении круглых колонн, которые так часто встре-
. чаются в греческой архитектуре, и т. д. Значение этого
отношения пытались приближённо установить ещё в глубокой
древности , повидимому, исключительно эмпирически;
чаще всего его принимали равным трём. Сведения об этом
мы находим в знаменитом папирусе Ринда (учебник Ах-
меса), в библии, в древнеиндийских и древнекитайских
памятниках. Примерно с V столетия до н. э. возникают
попытки установить это число на основании теоретических
соображений. Вопрос этот сплетается со знаменитой
задачей о квадратуре круга. Как рассказывает Плутарх,
математик и философ Анаксагор занимался этим во время
тюремного заключения, Знаменитый греческий ПйсаТель
Аристофан в конце V столетия в одной из своих комедий
уже подтрунивает над людьми, занимающимися этими
задачами.:
Архимед первый поставил задачу об намерении длины
окружности с полной точностью. Он задаётся целью не
только найти приближённое значение отношения окружности
к диаметру, но и установить пределы дбПускаёмой
при этом ошибки. Этому и поСВяЩена небольшая, но очень
важная работа «Измерение круга», о которой мы уяоми*
нали ранее.
Не приходится долгоостанавливаться на методе, которым
Архимед пользуется для решения этой задачи: его знают

стр. 26

все, кт» учился геометрии в школе. Длина окружности
содержится между периметрами вписанного и ойнсанного
многоугольников с одинаковым числом сторон *). Удваивая
ЧИСЛО сторон этих многоугольников, мы неограниченно
приближаемся к длине окружности. Начиная с шестиугольников,
Архимед с необычайным искусством доводит
вычисление до 96-угольников.; пользуясь указанным выше
(стр. 23) приближённым значением числа Y 3 , он обнаруживает,
что периметр правильного 96-угольника, вписанного
в окружность диаметра 1, больше, чем 3 -^ -, а
периметр правильного описанного 96-утольника меньше,
чем 3 Принимая верхнюю из этих границ в качестве приближённого
значения длины окружности, получим так назы-
ваемое архимедово значение г = -у- , которое, будучи
выражено десятичной дробью, даёт приближение с точностью
до 0,01 (3,14).
Мы обычно недооцениваем того, к чему привыкли,
что хорошо усвоено, — недооцениваем трудности задачи,
гения изобретателя. Но если , учесть, что и в настоящее
время, через две тысячи лет после Архимеда. его метод
. излагается в школьных учебниках, что до позднего периода
эпохи Возрождения не существовало приближённого
значения п, которое существенно бы отличалось от архимедова
числа, что и в’ настоящее время в подавляющем
— большинстве случаев на практике пользуются архимедовым
числом для вычисления длины окружности, площади круга,
объёма шара, то огромное значение этого великого откры-
тия станет совершенно ясным.
Но ценность и значение метода, которым пользуется
Архимед в этой работе, уяснится ещё лучше, если примем
во внимание, что в указанной работе («Измерение круга»)
он получает применение только в простейшем виде, что
здесь осуществляется только первая, наиболее простая
форма так называемого мето да исчерпывания, который
служит прообразом интегрального исчисления.
*) Архимед установил специальную аксиому,нз которой это
вытекает.

стр. 27

Вообще в истории науки очень, трудно указать идеи
или методы. большого значения, широкого применения^
открытие, и провозглашение которых можно было бы
приписать только одному человеку. Такие идеи развёртываются
постепенно, возникая из небольшого ядра и разрастаясь.
в своих приложениях. Метод исчерпывания ,в простейших,
но важных случаях получил применение ещё до
Архимеда; “по существу, им пользовался уже Евклид
в XI—XII книгах «Начал», и то рассуждение, которое
изложено выше, служащее в работе «Измерение круга»
средством для приближённого вычисления отношения длины
окружности к диаметру, составляет в исследованиях Архимеда
только первый шаг. Этот метод Архимед широко
развил, дал ему разнообразные, очень углублённые приложения,
получил при помощи его столь же замечательные,
сколь и ценные результаты, в которых, как уже сказано,-
с полным основанием видят предвосхищение интегрального
исчисления — важнейшего метода современной математики.

—-

Чём было вызвано появление метода исчерпывания,
каковы геометрические приёмы его приложения, каковы
специфические формы его применения, к которым прибегает
Архимед, каково развитие, которое он получил после
Архимеда — в средние веда, в наше время ? Дать хотя бы
краткие ответы на эти вопросы,— значит действительно
выяснить главное значение творчества Архимеда в области
геометрии; постараемся это сделать.
Чтобы ввести читателя в круг этих идей, остановимся
на вычислении площадей и объёмов. Учение о площадях
и объёмах развёртывается в геометрии следующим образом.
На основании учения о пропорциональности доказывается,
что отношение площадей двух прямоугольников,
даже вообще двух параллелограммов, равно произведению
отношения оснований на отношение высот (эллинские геометры.
говорили: равно сложному отношению, составленному
из отношения оснований и отношения высот). Благодаря
этому при надлежащем выборе- единицы площади
(если для измерения площадей за единицу принять площадь
квадрата, сторона которого равна единице длины)
число, выражающее площадь параллелограмма, равно

стр. 28

произведению чисел, выражающих длину основания и
длину высоты. Древние избегали этой арифметической
формулировки, но по существу приведенная выше формулировка
в геометрических отношениях ей эквивалентна,
и они практически ею действительно пользовались. Площадь
треугольника равна половине площади параллелограмма,
имеющего то же основание и ту же высоту;
многоугольник разбивается на треугольники, и его площадь
равна сумме площадей составляющих треугольников;
в различных частных случаях результат получает более
простое выражение. К этому, по существу, сводится всё
учение об измерении площадей прямолинейных фигур;
элементарная простота этого учения, таким образом, имеет
свой источник в том, что всякий многоугольник может
быть составлен из треугольников— из конечного числа
частей, отсекаемых от квадрата прямыми линиями *). Но
это исходное положение отказывается служить, когда
требуется разыскать площадь фигуры, ограниченной криволинейным
контуром, и прежде всего — площадь круга.
Круг нельзя составить из конечного числа прямолинейных
•фигур (треугольников, квадратов и т. п.). Для определения
площади криволинейной фигуры нужно найти иной
путь, и древние этот путь нашли. Точно установить, кому
Собственно принадлежит изобретение этого метода, невозможно;
сам Архимед приписывает его Евдоксу. Сущность
его мы выясним на задаче об определении площади круга.
Это тем-удобнее, что приём, который для ч этого применяется,
несущественно отличается от того, которым Архимед
воспользовался для приближённого вычисления ртно-
шения длины окружности к её диаметру.
В круг вписываете? правильный многоугольник, например—
как у Архимеда — шестиугольник. Он занимает
часть круга; но остаются шесть сегментов, ограничиваемых
дугами круга и сторонами многоугольника. После этого
в круг вписывается правильный двенадцатиугольник путём
надстройки равнобедренного треугольника на каждой
‘ *) Заметим, что это рассуждение имеет дефект: нужно
доказать, что сумма площадей треугольников, на которые разбит
многоугольник, не зависит от способа^ разбиения. (См. брошюру:
В. Ф. К а г а н, О преобразовании многоугольников,
Москва, 1933.)

стр. 29

стороне шестиугольника; этот двенадцатмугольняк охватывает
уже ббльшую часть круга-»-площадь остающихся
Сегментов уменьшается. После этого вписывается двадцати-
четырёхугольник. Повторяя достаточное числа, раз этот
Приём, можно достигнуть того, что любая заданная. точка
круга окажется внутри вписанного многоугольника. В этом
смысле вписываемые многоугольники как бы «исчерпывают»
круг. Отсюда и название, возникшее в средние века,
«метод исчерпывания». Выражаясь современным языком,
можно сказать, что площадь круга представляет собой
предел площадей вписанных многоугольников, когда
число их сторон бесконечно возрастает; но эта терминология
древним, конечно, ещё чужда.
Схема, по которой Архимед устанавливает площадь
круга, заключается в следующем. Он формулирует основное
предложение: площадь круга равна пло-
щадя п р ямо у г о л ь н о г о тре у г ольника , один
катет, к о т о р о г о равен окружмост н , а дру г
ой—- р а д и у с у круга. Это и даёт дяя площади
круга значение иг8, которое всегда приводится в наших
учебниках; но Архимед, как и все античные геометры,
даёт этому не арифметическое, а геометрическое выражение.
Его доказательство распадается на три частя. Пользуясь
не только вписанными, но и одноимёнными описанными
правильными многоугольниками, Архимед показывает,
во-первых, что площадь круга больше площади
каждого вписанного и меньше площади каждого описанного
многоугольника; во-вторых, что разность между
площадью описанного и площадью вписанного многоугольников
может быть сделана меньше любой заданной величины
*); и, наконец, после этого он устанавливает, что площадь
круга равна площади треугольника, о котором идёт
речь; он выполняет это рассуждением от противного, т. е.
доказывает, что площадь круга не может быть ни больше «и
меньше площади указанного-треугольника,
*) Если примем во внимание, что площадь вписанного таким
образом многоугольника с увеличением числа сторон постоянно
возрастает, а площадь описанного многоугольника постоянно убывает,
то станет совершенно ««Oj что та и другая площади
имеют общий предел.

стр. 30

Вообще в истории науки очень,

Таков замысел метода исчерпывания. Как’уже’укаэано,
Архимед чрезвычайно углубил я расширил применение
этого метода. В.работе «О шарё и цилиндре», которую
считают самым ранним из дошедших до нас сочинений
Архимеда, он доказывает, что поверхность шара равна
четырём- площадям большого круга, устанавливает объём
шара и шарового сектора, давая этому такое выражение;
объём шара в четыре раза превышает объём конуса, основание
которого равно площади большого круга этого шара,
а высота равна его радиусу; он устанавливает также объём
и боковую поверхность цилиндра и прямого круглого конуса,
а в других сочинениях, о которых речь будет ниже,
далеко расширяет эти результаты.
Таким образом, размер применения метода исчерпывания
у Архимеда оставляет далеко позади результаты, полученные
до него Евдоксом к, быть может, другими авторами;
то были только первые’шаги по этому пути, которые
Архимед расширил и углубил. Метод исчерпывания
становится орудием, посредством которого Архимед вычисляет
цлощадни-объёмы, ограниченные различными кривыми
линия*» и поверхностями.
• Трудность задачи, очевидно, заключается в том, чтобы,
выражаясь нашим языком, найти предел последовательных
приближений искомой величины. В своих работах о шаре
и цилиндре, о сфероидах и коноидах, о спиралях Архимед
идёт к этой цели чисто геометрическим путём, специфическими
средствами в каждом частном случае. Но Архимед
хочет найтц для этого общий приём; это ему, конечно,
не удалось. Задача эта постепенно была выполнена средневековыми
геометрами— Кавальери, Валлисом и другими—-
и получила первое заверитение в трудах Лейбница и Ньютона.
Только в XVII веке были установлены методы дифференциального
и интегрального исчислений, которые Архимед
частично несомненно предвосхитил. Но именно/изыскание
общих средств для установления тех предельных значений,
которыми выражаются устанавливаемые им величины, явно
составляет основную задачу, которую Архимед себе ставил.
Не разрешив этой задачи полностью, Архимед всё
же нашёл приём, приводящий его к цеди в очень большом
числе случаев, и притом таких случаев, в которых
выполнить требуемое вычисление было особенно трудно,

стр. 31

за которые никто из его предшественников даже не’ решался,
приняться. И наиболее замечательно то, что основной
замысел Архимеда заключается в применении, к этим геометрическим
вычислениям средств механики (статики).
В наиболее простом виде этот замысел осуществляется
в работе «Квадратура параболы». Попытаемся изложить
здесь эту работу, проследить ход рассуждений Архимеда.
По существу она нетрудна. Познакомившись с основным её
замыслом, с ходом рассуждений, читатель не только уяснит
себе самый метод исчерпывания, но и поймёт приём
Архимеда, основанный на механических соображениях. Но
именно по этой причине нам нужно предварительно в немногих
словах остановиться на другой работе Архимеда:
«О равновесии плоских фигур».
Это было первое исследование Архимеда, посвящённое
началам механики, вернее — Элементам статики. Оно состоит
из двух частей, которые посвящены разысканию
центров тяжести плоских фигур: в первой части Архимед
устанавливает центры тяжести простейших прямолинейных
фигур — параллелограмма, треугольника, трапеции,
во второй — центры тяжести различных сегментов параболы.
Таким образом, в первой части Архимед доказывает,
что центр тяжести параллелограмма лежит в пересечении
диагоналей, центр тяжести треугольника — в пересечении
его медиан. Эти результаты не были вполне
новыми, этими вопросами занимались до Архимеда, в
частности, Аристотель. Но соображения Аристотеля
далеко не вполне убедительны. Архимед первый установил
относящиеся сюда предложения с безукоризненной
точностью (он дал необходимую для их вывода аксиоматику),
а главное, он дал им замечательные приложения.
Одним из таких столь же простых, как и блестящих
приложений, и является работа «Квадратура пара-*
болы».

П а р а б о л а — хорошо известная плоская кривая. Она
имеет единственную ось симметрии ОЛТ (черт. 1), называемую
главной осью или главным диаметром. Основное
свойство параболы, которым она определяется и бдаго-

стр. 32

даря которому она пользуется такой известностью, заключается
в следующем. Между ветвями параболы на главной
оси есть такая точка F, называемая фокусом, что все
лучи FM, выходящие из этой точки и падающие на параболу,
отражаются (если, конечно, вообразить, что кривая обладает
зеркальными свойствами) в одном направлении ■—
параллельно главной
оси, и обратно: все
лучи, падающие на параболу
параллельно её
оси, после отражения
проходят через фокус
*). Это свойство
влечёт за собой различнее
другие соотношения
между элементами
параболы; одним
из таких соотношений
и воспользовался
Архимед для так
называемой квадратуры Черт. 1,
параболы, иначе говоря,
— для разыскания площади сегмента параболы, т. е. площади,
содержащейся между кривой и какой-либо её хордой.
Чтобы несколько упростить изложение, мы здесь ограничимся
тем случаем, когда хорда перпендикулярна к оси, хотя по
существу это мало меняет дело.
Итак, положим (черт. 2), что хорда параболы АВ перпендикулярна
к её оси ОН. Следуя Архимеду, в конечной
точке В дуги параболы проведём к ней касательную ВТ
до встречи с прямой АТ, проходящей через другой конец
хорды АВ параллельно оси ОН; образуется прямоугольный
треугольник АВТ, Замечательная теорема, установленная
Архимедом, заключается в том, что площадь
параболического сегмента, ограниченного хордой АВ и
дугой ЛОВ, составляет ровно одну треть площади треугольника
АВТ.
V.
*) Указанное свойство параболы находит себе практическое
применение при устройстве’ параболического зеркала, поверхность
которого образуется вращением параболы вокруг её Главной
оси.

стр. 33

Рассуждения, которыми Архимед это устанавливает и
в которых, как уже сказано, ясно проявляются два основ-
ных его метода, заключаются в следующем.
— Хорду АВ разделим на п равных частей (на черт. 2
« * » £ ) в точках Ни Н±, Я8, . . Н„ ( s S ) и чбрез них

проведём прямые НХТХ, ЯаГй, Я3Г3, . . . , параллельны^
главной оси,—-побочные оси кривой, как говорят проще.
Они встречают параболу i точках RUR%, R9, . . . , Rn-v ака*~
сательную в точках Tlt 7^, 7*8, . . и разбивает тре-
угольник АВТ на полосы — тралении АТТ}НХ,
ЩТ^ТЬНЪ, к о т о р ы е для краткости обозначим че-

стр. 34

рез Qp Qa, Q3, Qn *); теми же буквами будем обозначать
их площади. Если теперь соединим точку В с точками
R u Ra, R3, . . . прямыми BRlf BR2, BR3, . . . , то
они с осями тоже образуют два ряда меньших трапеций:
(FqHJ, (FiHg), (FaH3) , . . . , выходящих за пределы
сегмента (обозначим их через / и / а, / 3, . . они на черт. 2
заштрихованы горизонтально), — и трапеции (/?jW2), (ЩН3),
(RgHJ, . . . , входящие целиком внутрь сетмента (они на
черт. 2 заштрихованы вертикально; обозначим их через
ги га, г 3, . . . ) . Совершенно ясно, что. искомая площадь
$ сегмента ЛОВА параболы содержится вежду суммами
площадей входящих и выходящих трапеций:
rj + ra + • • • < *s < / i ‘+ ’/ 2 + v • + /» • А )
Когда число « частей, на которые мы дежам хорду А В,
неограниченно возрастает, эти две суммы неограниченно
сближаются; очевидно, площадь сегмента У служит общим
пределом суммы входящих и суммы выходящих трапеций.
Эта терминология, как мы уже знаем, Архимеду чужда;
но он доказывает, что разность между суммой выходя-
црх и суммой входящих трапеций становится меньше
любого заданного значения, а это и приводит к тому,
что площадь параболы является указанным пределом.
Читателю будет легче усвоить рассуждения Архимеда,
если мы будем пользоваться современной терминологией и
скажем, что для разыскания площади рассматриваемого
сегмента нужно было разыскать значение этого общего
предела.
Все предыдущие рассуждения по существу, конечно,
ещё вовсе не предполагают, что дуга, ограничивающая
сегмент, принадлежит параболе; они остались бы справедливыми
и в том случае, .если бы эта дуга принадлежала
любой из многих кривых, идущих от точки А к точке В.
Существенно то, что Архимед здесь, как и во многих
других случаях, пользуется методом, исчерпывания, т. е.
постепенного заполнения площади, ограниченной криволинейным
контуром, площадями прямолинейных фигур,
сумма которых в пределе даёт площадь искомой криволинейной
фцгуры. Но для разыскания этого предела, конечно,
нужно воспользоваться специфическими свойствами
*) Последняя из них -представляет собой треугольник,

стр. 35

#Архимед #КАГАН #физика

Бесплатные учебники по физике

Автор записи: uchebnik

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.