Архимед (стр. 16-25)

В. Ф. КАГАН «Архимед» (стр. 16-25)

Главная страница «Архимед» КРАТКИЙ ОЧЕРК О ЖИЗНИ И ТВОРЧЕСТВЕ.

В. Ф. КАГАН «Архимед», Скачать книгу Архимед в формате PDF,
В. Ф. КАГАН «Архимед», Скачать книгу Архимед в формате PDF,

ремесленники, вольноотпущенники стали в большом числе
стекаться в Александрию и очень быстро развернули
в ней торговлю и различного рода производства, После
смерти Александра (323 г.) и распада его монархии
Александрия сделалась столицей греко-египетского государства,
которое досталось одному из полководцев
Александра, Птолемею, сыну Лага, Провозгласив себя
вскоре царём, Птолемей Лага стал родоначальником династии,
правившей Египтом до 30 г. нашей эры.
Желая возвысить свою столицу, Птолемеи покровительствовали
развитию наук и искусств, ассигнуя на это значительные
средства и всячески поддерживая выдающихся
учёных и художников. Эти меры, которые широко при-
менял уже первый Птолемей, очень быстро привлекли
в Александрию большое число известных греческих философов
и их учеников, — тем более, что в Афинах прежней
свободе мысли уже давно не было места, К концу
IV столетия до н. э. Александрия становится центром
интеллектуальной жизни Греции. Здесь возникла первая
школа неоплатоников, здесь образовалась и геометрическая
школа, развернулся золотой век греческой геометрии *).
К эпохе расцвета геометрии александрийской школы
Относятся два геометра, различные по своему значению,
по силе своего творчества, но приобретшие наибольшую
известность’; это были ЁвКлид и Архимед. О личности
Евклида мы имеем очень мало сведений; они сводятся
к нескольким дошедшим до нас указаниям Паппа Александрийского
и, главным образом, к следующим строкам из
предисловия Прокла к его комментариям к первой книге
«Начал» Евклида.
«Немногим моложе их (Гермотима из Колофана и Филиппа
из Медеи) был Евклид, который составил , Начала’,
собрал в одно целое многие предложения, принадлежавшие
Евдоксу, усовершенствовал многое, принадлежавшее
Теэтету, и дал неоспоримые доказательства тому, что было
слабо доказано его предшественниками. Этот муж жил
во времена первого Птолемея; ибо Архимед, который
жил непосредственно после первого (Птолемея), упоми*)
G. Loria, И perlodo aureo delta geometria _greca, Modena,
1895; — G. Ко w a 1 e w s k4^Grosse Matfaem^liker, Berlin, 1939

стр. 16

нает об Евклиде. Рассказывают также, что Птолемей
однажды спросил его (Евклида), есть ли к геометрии
путь короче того, который проложен в „Началах», на
что тот ответил, что к геометрии нет особенного пути
для царей»..
От прежних крупных греческих геометров — Фалеса
Милетского (VII столетие до н. э.), Пифагора (VI столетие),
Гиппократа Хиосского (V столетие), Евдокса
(IV столетие) — Евклид получил в наследие обширный
геометрический материал. Но для него может быть большее^
значение имели общие требования Платона и Аристотеля
по отношению ко всякой области знания — привести
в порядок имеющийся материал, в частности, претворить
геометрию в строго выдержанную синтетическую
систему, дать ей твёрдое логическое основание. И эту
задачу он выполнил со веем тем совершенством, какое
было в то время доступно. Созданные им «Начала» сделались
учебником, по которому в течение двух тысяч лет
учились геометрии юноши и взрослые. Не нужно думать,
однако, что Евклид, был просто компилятором дошедшего
до него геометрического материала. Он внёс в своё произведение
много усовершенствований и, повидимому, немало
дополнений, «Очень трудно, — пишет тот же его
комментатор Прокл, — в каждой науке отобрать и расположить
в надлежащем порядке элементы, из которых всё
дальнейшее следует, в которые всё дальнейшее разрешается
». «И во всём этом система элементов Евклида
превосходит всё остальное, ибо польза её сказывается
в том, что она ведёт к исследованию наиболее совершенных
фигур; её ясность и совершенство обеспечиваются
тем, что она«восходит от более простого к более сложному,—
тем, что она основывает всё исследование на
аксиомах; общность же доказательства обеспечивается
тем, что оно переходит от начальных теорем, носящих
характер принципов, к (сложным) объектам мышления».
Так характеризовали древние назначение и достоинства
«Начал». Книга Евклида на тысячелетия установила то,
что по настоящее время считается началами, элементами
геометрии — установила рамки элементарной геометрии,
Верный Платону, к посмертной щколе которого он
принадлежал,, Евклид был человеком исключительно,

стр. 17

абстрактной мысли; приложения геометрии его не интересовали.
Известно дошедшее до нас предание, будто юноша,
пришедший к нему учиться, спросил его, какую, собственно,
пользу он получит от изучения геометрии. В ответ
на это Евклид повернулся к рабу и сказал ему: «Дай
этому «человеку три обола, он ищет от геометрии пользу».
Трудно сказать, сколько правды в этой легенде; но
она выявляет целое мировоззрение; и это мировоззрение
для Евклида действительно характерно.
Евклид завершил эпоху создания элементарной геометрии
и приведения её в логическую систему. Следующей
эпохе положил начало Архимед. Это был человек
не только неизмеримо более высокой творческой силы,
но и существенно другого миросозерцания, другого
взгляда на науку и на её задачи.
Хотя об Архимеде, как мы видели, пишут почти все
древние историки, наши сведения об его жизни по су*
ществу также очень незначительны. Некто Гераклид
в древности написал его биографию, но она до нас не
дошла; проскользнули только краткие отрывки из неё,
вкраплённые в сочинения других авторов. Мы знаем уже,
что Архимед погиб при взятии Сиракуз Марцеллом, следовательно,
в 212 г. до н. э. Но рассказу Тцетцеса ему
было тогда 75 лет; таким образом, он родился, вероятно,
около 287 г. до н. э. Происходил он из культурной
семьи; его отец Фидий был астроном; Архимед упоминает
о нём в своём сочинении «Исчисление песка». Есть основания
думать, что это была знатная, но небогатая семы.
Архимед находился в родственных отношениях к сиракузскому
царю (тирану) Гиерону и его сыну Гелону. По
рассказу древнегреческого историка Диодора, он провёл
продолжительное время в Александрия, где, повидимому,
учился у последователей Евклида. К Евклиду, как это следует
«га собственных высказываний Архимеда, он относился
с большим почтением. В Александрии он сблизился с рядом
математиков * с которыми поддерживал дружбу всю
свою жизнь. Старшим из них был Коной, который, повидимому,
имел влияние на развитие геометрических .идей
Архимеда, но рано умер; другим — Досифею, Эратосфену,

стр. 18

Даейксияпу —.Архимед посылал свои работы, сопровождав
‘ каждую соответствующим письмом, так что сочинения
Архимеда до некоторой степени производят впечатление
поеданий друзьям.
Возвратившись в Сиракузы, Архимед посвятил себя
исключительно математическим исследованиям, которые
приведи его также. к открытиям в области механики (ста*
тркв, — гидростатики) и техники. Относился ли Архимед
действительно с пренебрежением к приложениям математики?
Можно с уверенностью сказать, что это не так.
Известный отпечаток научных традиций платоновской
Академии на нём, конечно, лежит; он проявляется, между
прочим, и в той строгой точности, с какой Архимед доказывает
каждую свою теорему, в той осторожности,
с какой он публикует свои замечательные открытия. Но
вряд ли можно допустить, чтобы человек, с таким увлечением
и с таким успехом сооружавший многочисленные
машины, основываясь при этом на своих теоретических
исследованиях, мог презирать этот род своей деятельности.
.. Плутарх подкрепляет свои утверждения об отношении
Архимеда к его техническим открытиям тем, что он ми
одного из этих открытий не опубликовал, но причиной
этого, вероятнее всего, была «засекреченность» этих открытий.
Во всяком случае работы Архимеда в области механики,
и в особенности гидростатики, задачи, которые он себе
при этом ставил, обстоятельства, которые его к этому
’ правдами, свидетельствуют, что это был человек с совершенно
иными умонастроениями, нежели Евклид и его ближайшие
ученики. Он несошемно имел живой и глубокий
интерес к прикладным дисциплинам.: без такого интереса не
было бы возможно и то творчество, которое он в этиц ‘
дисциплинах проявил. Как мы увидим ниже, он именно
в механике черпал даже средства для доказательства чисто
геометрических предложений. *
— Вод ее .трудные, более специальные но Своему содержанию,
нежели «Начала» Евклида, сочинения Архимеда
были гораздо менее распространены; в то время как поздние
издания Евклида считаются сотнями, если не тысячами,
издания Архимеда считаются лишь немногими единицам».
Имеются три основные рукописи, so которым эти сочинения
воспроизводятся, но и у них один общий источник — ма-

стр. 19

гиперболоида и параболоида вра!цения, он углубил этот
приём настолько, что в основном предвосхитил методы
Лейбница и Ньютона, можно сказать, заложил первые
начала интегрального исчисления.
Архимед установил основы теоретической механики
(статики) и начала Тидростатики, не только не утратившие
значения до сих пор, но по настоящее время составляющие
первые исходные основания этих дисциплин.
Архимед дал способы вычисления площадей и объёмов
геометрических тел, основанные на применении начал механики.
Архимед открыл так называемую винтовую линию
и дал её применение к построению винтового двигателя,
хотя и примитивного, но всё же служащего элементарным
прототипом всех винтовых движителей в воде и в воздухе,
которыми Мы теперь пользуемся. Эти открытия составили
эпоху, позже служили точкой отправления для работ Леонардо
да Винчи, Галилея и Ньютона. Методы Архимеда составляют
античную предоснову новой математики, её первого
расцвета в XVII столетии.
Чтобы эту роль Архимеда выяснить, необходимо’войти
в рассмотрение важнейших его произведений. Мы не будем
при этом придерживаться их хронологического порядка,
который к тому же нельзя считать строго установленным,
нО будем следовать пути, на котором, на наш взгляд, наиболее
выясняется сущность и развитие идей Архимеда.

Архимеда прежде всего считают геометром. Так его
называют и древние историки, повествующие о его технических,
изобретениях. Тем не менее мы начнём обзор
его творчества с Идей, которые правильнее всего отнести
к арифметике.
Учению о счислении и счёте Архимед посвятил особое
сочинение «’Apyai» — «Начала», которое, повидимому,
принадлежало к самым ранним его произведениям и,
к сожалению, до нас не дошло. Мы располагаем только
отрывками из него, сообщёнными различными авторами,
отчасти и самим. Архимедом, в дошедшем до нас сочинений
«Псаммит» («Исчисление песка»).
К началу золотого века своей культуры (III ст. до
н. э.) греки были очень сильны в геометрии. Сочетание

стр. 21

наглядных представлений (интуиции) и логик» привело
их и открытию и обоснованию далеко идущих геометрических
соотношений. По вопросу, например, о конических
сечениях современные руководства по аналитической геометрии,
предназначенные для наших студентов, содержат
значительно меньше сведений, чем мы находим в трактате
Аполлония. Однако при этом богатстве геометрического
материала в греческой математике искусство счёта находилось
в убогом состоянии, что проявлялось, в частности,
в весьма тяжеловесном письменном счислении, непригодном
для сколько-нибудь сложного счёта. Греки обозначал»
числа буквами (или сочетанием букв) своего алфавита,
отличая числовые записи от обычного словесного текста
либо посредством штриха, поставленного сверху справа
от буквенной записи чисел, либо с помощью горизонтальной
черты над нею, либо другим способом, однако, лишённым
единого принципа. При этом первые девать букв
греческого алфавита означал» числа от единицы до девяти.
Следующие девять букв означали десятки от десяти до
девяноста. Следующие девять —- сотни от ста до девятисот.
Так как для обозначения всех указанных чисел требовалось
27 букв, а основной греческий алфавит содержал
только 25 (если учесть отдельно <;), то пришлось использовать
в качестве «цифр* две архаические буквы q (копна)
и (сампи), которыми обозначили соответственно 90 и 96®.
Получилась, таким образом, следующая таблица обозначений

А дальше шли тысячи, для обозначения которых к знаку,
выражающему число тысяч, присоединялся штрих с левой
стороны внизу. Так, обозначение выражало четыре тысячи,
верхний штрих справа отмечал, что это — число, нижний
«слева отмечал тысячи. Чтобы написать число, составленное
из тысяч, сотен, десятков и единиц, соответственные
буквенные знаки писались рядом один за другим,
так что, например, число 4327 записывалось в виде

стр. 22

Некоторые авторы употребляли и другие, но не более
простые обозначения. Ясно, что на основе такой записи
чисел построить сколько-нибудь разумный, удобный общий
алгоритм (правило) счёта было невозможно. Даже сравнительно
простое арифметическое вычисление представляло
для древних греков очень большие трудности, а при некотором
осложнении оно становилось невыполнимым или
же требовало специальных приёмов и исключительного
таланта. Так, в одном сочинении («Измерение круга»), о
котором будет речь ниже, Архимеду приходится приближённо
вычислять 1/3. Архимед действительно даёт приближённо
меньшее и приближённо большее значений этого
числа; именно, он указывает, что (в наших обозначениях)
1351 ^ ,/х-у. 265
780 153 ‘
Но ни единым словом Архимед не разъясняет, как он этб
замечательное приближение получил. Имеется целая литература,
содержащая попытки разгадать этот способ, но
следует признать, что все высказанные соображения мало
надёжны.
В своём сочинении «Псаммит» («Исчисление песка»)
Архимед прежде всёго пытается дать способ обозначения
очень больших чисел в словах я в знаках. К этому приводит
Архимеда следующая своеобразная задача. Он хочет
вычислить, сколько песка, точнее, —сколько песчинок содержалось
бы в массе песка, если бы таковая заполняла
«всю вселенную*, т. е> сферу, имеющую центром Землю
и охватывающую все неподвижные звёзды. Вот что он
обВтоиГОворит во вступлении, обращённом к царю Гелону.
«Есть люди, царь Гелон, которые придерживаются
того мнения, что число песчинок бесконечно велико; я же
имею в виду не только тот песок, который находятся
у нас вблизи Сиракуз и во всей Сицилии, но к во> всех
населённых местах. Другие люди, если н не считают
ЭТОТЮ числа бесконечный, то всё же утверждают, что мы
не в состоянии указать числа, которое превосходит его. . .
Но я хочу тебе представить Геометрические доказательства,
которые ты можешь проследить, что между теми числами,
которые я Поименовал в сочнйОнии, посланном ДзейкейТШу,
Тймйсугсй такие, «оТорыо це только превышают это коли-

стр. 23

изводство счёта по разрядам и порядкам (классам) —уже
заложена в этом произведении.
Указав этот способ счёта и опираясь затем на сообщения
Аристарха о размерах вселенной, а также на свои
собственные соображения , по этому вопросу и по вопросу
о размерах песчинки, Архимед приходит к заключению,
что число песчинок, которые могли бы заполнить вселенную,
не превышает тысячи мириад «восьмых» чисел, т, е.
числа 103 • 101 • 107,8 = 1063.
Эту свою работу Архимед заканчивает следующими
словами; «Я предполагаю, царь Гелон, что эти вещи множеству
людей, не занимавшихся математикой, покажутся
невероятными; но тем, кто в этрм кое-что понимает и
кто проследит изложенные соображения о расстояниях
и величинах Земли, Солнца, Луны и всей вселенной,
в силу доказательства убедятся в справедливости этого».
Работа Архимеда об исчислении песка при всём принципиальном
её значении t не получила широкого -применения,
потому что лозже, к тому времени, когда задачи
сложного счёта стали насущными, в математику, в частности,
в арифметику, проникли способы арабско-индусского
счисления, которым пользуются с шестнадцатого
столетия; онр имеет несомненное преимущество, особенно
в письменном Счёте. Но чётко выраженный замысел двойного
счёта принадлежит Архимеду и, вероятно, был им глубже
разработан в недошедшем до нас произведении « ’Apyai».
Вычислительная математика, которой Евклид совершенно
пренебрегал, становится для Архимеда, можно сказать,
главным предметом разработки, и в виде ряда частных,
глубоких и трудных задач разрешается им при помощи
методов, которые сохранили руководящее значение до
настоящего времени. Ближайшее применение эти вычисления
получили в замечательной работе Архимеда «Измерение
круга».
В XII книге «Начал» Евклид устанавливает (предложение
2), что площади кругов относятся-между собой как квадраты’
их диаметров *). Это эквивалентно тому, что отношение
площади круга к квадрату диаметра есть число по-
*) По терминологии Евклида как квадраты, построенные
на их диаметрах.

стр. 24

изводство счёта по разрядам и порядкам (классам) —уже
заложена в этом произведении.
Указав этот способ счёта и опираясь затем на сообщения
Аристарха о размерах вселенной, а также на свои
собственные соображения , по этому вопросу и по вопросу
о размерах песчинки, Архимед приходит к заключению,
что число песчинок, которые могли бы заполнить вселенную,
не превышает тысячи мириад «восьмых» чисел, т, е.
числа 103 • 101 • 107,8 = 1063.
Эту свою работу Архимед заканчивает следующими
словами; «Я предполагаю, царь Гелон, что эти вещи множеству
людей, не занимавшихся математикой, покажутся
невероятными; но тем, кто в этрм кое-что понимает и
кто проследит изложенные соображения о расстояниях
и величинах Земли, Солнца, Луны и всей вселенной,
в силу доказательства убедятся в справедливости этого».
Работа Архимеда об исчислении песка при всём принципиальном
её значении t не получила широкого -применения,
потому что лозже, к тому времени, когда задачи
сложного счёта стали насущными, в математику, в частности,
в арифметику, проникли способы арабско-индусского
счисления, которым пользуются с шестнадцатого
столетия; онр имеет несомненное преимущество, особенно
в письменном Счёте. Но чётко выраженный замысел двойного
счёта принадлежит Архимеду и, вероятно, был им глубже
разработан в недошедшем до нас произведении « ’Apyai».
Вычислительная математика, которой Евклид совершенно
пренебрегал, становится для Архимеда, можно сказать,
главным предметом разработки, и в виде ряда частных,
глубоких и трудных задач разрешается им при помощи
методов, которые сохранили руководящее значение до
настоящего времени. Ближайшее применение эти вычисления
получили в замечательной работе Архимеда «Измерение
круга».
В XII книге «Начал» Евклид устанавливает (предложение
2), что площади кругов относятся-между собой как квадраты’
их диаметров *). Это эквивалентно тому, что отношение
площади круга к квадрату диаметра есть число по-
*) По терминологии Евклида как квадраты, построенные
на их диаметрах.

стр. 25

#Архимед #КАГАН #физика

Бесплатные учебники по физике

Автор записи: uchebnik

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.